Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y =x^3 +(a+10)x^2 -x +1

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là $x^3+\left(a+10\right)x^2-x+1=0$(*).

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (*). Khi đó (*) $\iff -a-10=\frac{x^3-x+1}{x^2}.$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^3-x+1}{x^2}=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2},$ có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^3+-2}{x^3}=0\iff x=1.$

Tính:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x\right)=-\infty ; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x\right)=+\infty ; \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x\right)=+\infty ; \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x\right)=-\infty ;f\left(1\right)=1. \end{gathered}$$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $f\left(x\right)=-a-10$ có nghiệm duy nhất $\iff a>-11.$

Kết hợp với a là số nguyên âm $\Rightarrow$ Có 10 giá trị cần tìm.