Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hang tháng

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 2 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{59}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{59}$ 

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 2 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{58}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{58}$ 

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 3 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{57}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{57}$

…………………………………….

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 59 là

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^1+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^1$ 

Do đó sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là

$T=\mathrm{200.000.}\left(1+0,55\%\right).$

$\frac{1-{\left(1+0,55\%\right)}^{60}}{1-\left(1+0,55\%\right)}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{59}$ 

$\left[1+2{\left(1+0,55\%\right)}^{-1}+3{\left(1+0,55\right)}^{-2}+\mathrm{...59}{\left(1+0,55\right)}^{-58}\right]$ 

Mặt khác ta có:

$$\begin{gathered} x+x^2+x^3+\mathrm{...}+x^n \\ =x\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{x-x^{n+1}}{1-x} \end{gathered}$$

Đạo hàm 2 vế ta có:

$$\begin{gathered} 1+2x+3x^2+\mathrm{...}+n{x}^{n-1} \\ =\frac{\left[1-\left(n+1\right)x^n\right]\left(1-x\right)+x-x^{n-1}}{1-x} \end{gathered}$$ 

Với $x=\frac{1}{\left(1+0,55\right)};n=59$ ta có:

$1+2{\left(1+0,55\%\right)}^{-1}+3{\left(1+0,55\right)}^{-2}+\mathrm{....59}{\left(1+0,55\right)}^{-58}\approx 1436$

Vậy $T=539447312$ đồng