Cho hàm số f (x) thỏa mãn (f'(x))^2 + f( x). f''(x) = 15x^4 + 12x, mọi thuộc R

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có

$$\begin{gathered} \left[f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)\right]\text{'}={\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2+f\left(x\right).f"\left(x\right) \\ =15x^4+12x \end{gathered}$$ 

Nguyên hàm 2 vế ta được

$f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)=\frac{15x^5}{5}+6x^2+C=3x^5+6x^2+C$ 

Do $f\left(0\right)=f\text{'}\left(0\right)=1\Rightarrow C=1$ 

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được:

$\int f\left(x\right)df\left(x\right)=\int \left(3x^5+6x^2+1\right)dx$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{f^2\left(x\right)}{2}=\frac{3x^6}{6}+\frac{6x^3}{3}+x+D \\ =\frac{1}{2}{x}^6+2x^3+x+D. \\ Dof\left(0\right)=1\Rightarrow D=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow f^2\left(1\right)=8. \end{gathered}$$