Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] đồng biến trên đoạn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Vì $y=f\left(x\right)$ là hàm số đồng biến trên $\left[1;4\right]\Rightarrow f\left(x\right)\ge f\left(1\right)=\frac{3}{2}.$

Khi đó:

$$\begin{gathered} x+2x.f\left(x\right)={\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2 \\ \iff \sqrt{x.\left[2f\left(x\right)+1\right]}=f\text{'}\left(x\right) \\ \iff \frac{f\text{'}\left(x\right)}{\sqrt{2f\left(x\right)+1}}=\sqrt{x} (*). \end{gathered}$$

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:

$$\begin{gathered} \int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{\sqrt{2f\left(x\right)+1}}dx \\ =\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C \left(1\right). \end{gathered}$$

Đặt $t=\sqrt{2f\left(x\right)+1}$

$$\begin{gathered} \iff dt=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{\sqrt{2f\left(x\right)+1}}dx \\ \Rightarrow \int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{\sqrt{2f\left(x\right)+1}}dx=\int dt=t \left(2\right). \end{gathered}$$

Từ (1), (2) suy ra $\sqrt{2f\left(x\right)+1}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$ mà $f\left(1\right)=\frac{2}{3}\Rightarrow \sqrt{2.\frac{3}{2}+1}=C+\frac{2}{3}\iff C=\frac{4}{3}.$

Do đó:

$$\begin{gathered} \sqrt{2f\left(x\right)+1}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3} \\ \iff f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\right)}^2-1\right]. \end{gathered}$$

 Vậy $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1186}{45}.$