Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a;b ] và thỏa mãn điều kiện f(x) = f( a + b - x )

* Hướng dẫn giải

Đặt t = a + b - x nên dx = -dt

Đổi cận: x = a nên t = b; x = b nên t = a

Khi đó : 

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx \\ ={\int }_a^{b}xf\left(a+b-x\right)dx \\ =-{\int }_b^a\left(a+b-t\right)f\left(t\right)dt \\ ={\int }_a^b\left(a+b-t\right)f\left(t\right)dt \\ =\left(a+b\right){\int }_a^{b}f\left(t\right)dt-{\int }_a^{b}tf\left(t\right) \\ =\left(a+b\right){\int }_a^{b}f\left(x\right)dt-{\int }_a^{b}xf\left(x\right) \end{gathered}$$

Do đó ${\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx=\frac{\left(a+b\right)}{2}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Đáp án D