Một ống hình trụ rỗng đường kính a được đặt xuyên qua tâm hình cầu bán kính a

* Hướng dẫn giải

Ta xem hình cầu được sinh bởi khi quay hình tròn (C): x + y = a quanh Oy và hình trụ sinh bởi phần mặt phẳng của hai đường thẳng x = 0; x = $\frac{a}{2}$ quay quanh Oy.

Ta có $y^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\Rightarrow \mathrm{y}=\pm \sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}$.

Thể tích cần tìm là:

$$\begin{gathered} V=4\mathrm{\pi }{\int }_{\frac{\mathrm{a}}{2}}^{\mathrm{a}}\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx} \\ =-2\mathrm{\pi }{\int }_{\frac{\mathrm{a}}{2}}^{\mathrm{a}}\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{d}\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right) \\ =-\frac{4\mathrm{\pi }}{3}{{\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}_{\frac{\mathrm{a}}{2}}^{\mathrm{a}} \\ =\frac{\mathrm{\pi }\sqrt{3}}{2}{\mathrm{a}}^3 \end{gathered}$$

Đáp án A