Cho phương trình (m + 1)log 2 mũ 2 của x + 2.log 2 của x + (m - 2) = 0. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Đặt $t={\log }_{2}x$, khi đó $\left(m+1\right){{\log }_2}^{2}x+2{\log }_{2}x+m-2=0\iff \left(m+1\right)t^2+2t+m-2=0$ (*).

Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}a=m+1\ne 0\\ ∆\text{'}=1-\left(m+1\right)\left(m-2\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m^2-m-3<0\end{array}\right.\left(1\right).$ 

Khi đó gọi $x_1;x_2$ lần lượt hai nghiệm của phương trình (*).

Vì $0<x_1<1<x_2$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}{t}_1={\log }_2{x}_1<0\\ t_2={\log }_2{x}_2>0\end{array}\right.\Rightarrow t_1{t}_2=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{m+1}<0 \left(2\right).$ 

Từ (1), (2) suy ra $-1<m<2\iff m\in \left(-1;2\right)$ là giá trị cần tìm.