Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB

* Hướng dẫn giải

Thể tích cái phễu là $V=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$

Ta có chu vi đáy là $2\mathrm{\pi r}=\mathrm{Rx}$

Suy ra

 $$\begin{gathered} r=\frac{Rx}{2\mathrm{\pi }} \\ h=\sqrt{R^2-r^2} \\ =\sqrt{R^2-\frac{R^2{x}^2}{4{\mathrm{\pi }}^2}} \\ =\frac{R}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{4{\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{x}}^2} \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:

$$\begin{gathered} V=\frac{\sqrt{3}{R}^3}{48{\mathrm{\pi }}^2}{x}^2.\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{\pi }\sqrt{4{\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{x}}^2} \\ \le \frac{\sqrt{3}{\mathrm{R}}^3}{2.48{\mathrm{\pi }}^2}{\mathrm{x}}^2\left(\frac{4}{3}{\mathrm{\pi }}^2+4{\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{x}}^2\right) \\ =\frac{\sqrt{3}{\mathrm{R}}^3}{2.48{\mathrm{\pi }}^2}{\mathrm{x}}^2\left(\frac{16}{3}{\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{x}}^2\right) \\ \le \frac{1}{8}\frac{\sqrt{3}{\mathrm{R}}^3}{48{\mathrm{\pi }}^2}.{\left[{\mathrm{x}}^2+\left(\frac{16}{3}{\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{x}}^2\right)\right]}^2 \\ =\frac{1}{8}\frac{\sqrt{3}{\mathrm{R}}^3}{48{\mathrm{\pi }}^2}.\frac{{16}^2}{9}{\mathrm{\pi }}^4=\frac{2\sqrt{3}}{27}{\mathrm{\pi R}}^3 \end{gathered}$$

Dấu bằng có khi và chỉ khi 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{\pi }=\sqrt{4{\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{x}}^2}\\ x^2=\frac{16}{3}{\mathrm{\pi }}^2-{\mathrm{x}}^2\end{array}\right. \\ \iff x=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Vậy $\frac{2\sqrt{3}}{27}{\mathrm{\pi R}}^3$ khi và chỉ khi x = $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}{\mathrm{\pi R}}^3$

Đáp án A