Cho hàm số f(0;+pi) thỏa mãn điều kiện f(tan2x)=tan^4x+1/tan^4(x)

* Hướng dẫn giải

Đặt

Ta có 

$$\begin{gathered} t=\frac{2\tan }{1-{\tan }^2\left(x\right)} \\ \Rightarrow \frac{2}{t}=\frac{1}{\tan \left(x\right)}-\tan \left(x\right) \\ \Rightarrow \frac{4}{t^2}=\frac{1}{{\tan }^2\left(x\right)}+{\tan }^2\left(x\right)-2 \end{gathered}$$

Từ đó 

$$\begin{gathered} {\left(\frac{4}{t^2}+2\right)}^2={\left(\frac{1}{{\tan }^2\left(x\right)}+{\tan }^2\left(x\right)\right)}^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{{\tan }^4\left(x\right)}+{\tan }^4\left(x\right) \\ =\frac{16}{t^4}+\frac{16}{t^2}+2 \end{gathered}$$

Lúc đó $f\left(t\right)=\frac{16}{t^4}+\frac{16}{t^2}+2$ với t = tan(2x)

Khi $x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: $f\left(t\right)=\frac{16}{t^4}+\frac{16}{t^2}+2$

Bắt đầu từ đây ta có: 

$$\begin{gathered} f\left(\sin \left(x\right)\right)+\left(\cos \left(x\right)\right) \\ =\frac{16}{{\sin }^4\left(x\right)}+\frac{16}{{\sin }^2\left(x\right)}+2 \\ +\frac{16}{{\cos }^4\left(x\right)}+\frac{16}{{\cos }^2\left(x\right)}+2 \\ =16\left(\frac{1}{{\sin }^4\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^4\left(x\right)}\right) \\ +16\left(\frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}\right)+4 \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\sin }^4\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^4\left(x\right)} \\ \ge \frac{2}{{\sin }^2\left(x\right){\cos }^2\left(x\right)} \\ =\frac{8}{{\sin }^2\left(2x\right)}\ge 8\forall x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} \\ \ge \frac{2}{\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)} \\ =\frac{4}{\sin \left(2x\right)}\ge 4\forall x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \end{gathered}$$

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx)$\ge 196$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Đáp án A