Cho biết tập nghiệm của bất phương trình sau đây là hợp của các khoảng rời nhau

* Hướng dẫn giải

Đây là một bài toán tương đối khó. Đầu tiên, chúng ta cần để ý đến những biến đổi sau đây:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+..+\frac{70}{x-70}-\frac{5}{4} \\ =\sum _{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}-\frac{5}{4} \\ =\frac{\sum _k{\displaystyle \underset{j\ne k}{\prod \left(x-j\right)}}}{\prod _{\left(x-j\right)}}-\frac{5}{4} \\ =\frac{4\sum _k\underset{j\ne k}{\prod \left(x-j\right)-5\prod _{\left(x-j\right)}}}{4\prod _{\left(x-j\right)}} \\ =\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \end{gathered}$$

với k;j = 1,70

Rõ ràng g(x) = 0 có 70 nghiệm $x\in \left\{1;2;..;70\right\}$

Vậy f liên tục trên $R,f\left(k\right),f\left(k+1\right)<0$ với $k=\overline{1,69}$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)<0;f\left(70\right)>0$ nên cũng có đủ 70 nghiệm xen kẽ là 1 < $x_1$ < 2 < $x_2$ < .. < $x_{69}$

Tổng độ dài các khoảng nghiệm của bất phương trình $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge 0$ là

$$\begin{gathered} L=\left(x_1-1\right)+\left(x_2-2\right) \\ +..+\left(x_{70}-70\right) \\ =\left(x_1+x_2+..+x_{70}\right) \\ -\left(1+2+..+70\right) \end{gathered}$$

Để ý đa thức f có bậc 70, hệ số cao nhất là -5 và hệ số của $x^{69}$ là: 9(1 + 2 + ..+ 70 )

Do đó

$$\begin{gathered} L=\frac{-9\left(1+2+..+70\right)}{-5} \\ -\left(1+2+..+70\right)=1988 \end{gathered}$$

Đáp án D