Tính giá trị của a để hàm số y=asin(x)-cos(x)-1/acos(x)

* Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm D = R$\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }\right\}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=\frac{\alpha \sin \left(x\right)}{\alpha {\cos }^2\left(x\right)} \\ y"=\frac{-\sin \left(x\right)+2\alpha \sin \left(x\right)-1}{\alpha {\cos }^3\left(x\right)} \\ y\text{'}=0\iff \sin \left(x\right)=\alpha \left(*\right) \end{gathered}$$

Hàm số đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc $\left(0;\frac{9\mathrm{\pi }}{4}\right)$ thì trước hết phương trình (*) phải có ba nghiệm thuộc $\left(0;\frac{9\mathrm{\pi }}{4}\right)$$\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right\}\iff \sin \left(x\right)=\alpha$ có ba nghiệm phân biệt 

Với $a\in \left(0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ thì y''$\ne$0 ( bởi vì $∆f=a^2-1<0$với $f\left(\sin \left(x\right)\right)=-{\sin }^2\left(x\right)+2\alpha \sin \left(x\right)-1$)

Vậy $0<\alpha <\frac{\sqrt{2}}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án B