Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối $SO\cap B\text{'}D\text{'}=I$. 

Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.

Tam giác SAC vuông tại A, có $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2=6a^2\Rightarrow SC=a\sqrt{6}$. 

Ta có $BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AB\text{'}$ và $SB\perp AB\text{'}\Rightarrow AB\text{'}\perp SC$. 

Tương tự $AD\text{'}\perp SC$ suy ra $SC\perp (AB\text{'}D\text{'})\equiv (AB\text{'}C\text{'}D\text{'})\Rightarrow SC\perp AC\text{'}$.

Mà $SC\text{'}.SC=S{A}^2\Rightarrow \frac{SC\text{'}}{SC}=\frac{S{A}^2}{S{C}^2}=\frac{2}{3}$ và $\frac{SB\text{'}}{SB}=\frac{S{A}^2}{S{B}^2}=\frac{4}{5}$. 

Do đó $V_{S.AB\text{'}C\text{'}}=\frac{8}{15}{V}_{S.ABC}=\frac{8}{30}{V}_{S.ABCD}$ mà $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{2a^3}{3}$. 

Vậy thể tích cần tính là $V_{S.AB\text{'}C\text{'}D\text{'}}=2.V_{S.AB\text{'}C\text{'}}=\frac{16a^3}{45}$