Cho số phức thỏa mãn IzI < bằng 1. Đặt A = (2z - 1)/(2 + iz). Mệnh đề nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có $A=\frac{2z-1}{2+iz}\iff 2A+Aiz=2z-i\iff 2A+i=2z-Aiz\iff z=\frac{2A+i}{2-Ai}$. 

Mà $\left|z\right|\le 1\Rightarrow \left|\frac{2A+i}{2-Ai}\right|\le 1\iff \frac{\left|2A+i\right|}{\left|2-Ai\right|}\le 1\iff \left|2A+i\right|\le \left|2-Ai\right|$   (*).

Đặt A = x + yi, Khi đó (*) $\iff \left|2x+\left(2y+1\right)i\right|\le \left|2+y-xi\right|\iff 4x^2+{\left(2y+1\right)}^2\le {\left(2+y\right)}^2+x^2$. 

$\iff 4x^2+4y^2+4y+1\le x^2+y^2+4y+4\iff x^2+y^2\le 1\Rightarrow \left|A\right|\le 1.$