Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số biết ??=1+1/2^2+1/3^2+...+1/?^2 A. Dãy số tăng, bị chặn

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có

$$\begin{gathered} u_{n+1}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2} \\ =u_n+\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}>u_n \end{gathered}$$,

vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Hơn nữa vì dãy số là tổng các số dương nên bị chặn dưới bởi 0, ta chỉ cần kiểm tra dãy số có bị chặn trên hay không là đủ để chọn phương án đúng.

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ \mathrm{..........................}\\ \frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right).n}=\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\end{array}$

Vì vậy $u_n<2-\frac{1}{n}<2$, do đó dãy số bị chặn trên.