Giả sử tích phân I=tan^2(x)-tan(x)/e^xdx=e^-kx từ 3pi/4 đến pi . Tính giá trị của k

* Hướng dẫn giải

Ta có 

$$\begin{gathered} I={\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}\left({\tan }^2\left(x\right)-\tan \left(x\right)\right)e^{-x} \\ ={\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}{e}^{-x}{\tan }^2\left(x\right)dx \\ -{\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}{e}^{-x}\tan \left(x\right)dx \\ =J-K \end{gathered}$$

Trong đó 

$$\begin{gathered} J={\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}{e}^{-x}{\tan }^2\left(x\right)dx \\ K={\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}{e}^{-x}\tan \left(x\right)dx \end{gathered}$$

Ta sẽ tính tích phân K bằng phương trình tích phân từng phần

Đặt 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}u=\tan \left(x\right)\\ dv=e^{-x}dx\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\left(1+{\tan }^2\left(x\right)\right)dx\\ v=-e^{-x}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó 

$$\begin{gathered} K=-e^{-x}\tan {\left(x\right)}_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }} \\ +{\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}{e}^{-x}\left(1+{\tan }^2\left(x\right)\right)dx \\ =-e^{\mathrm{\pi }}{\int }_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}{e}^{-x}dx+J \\ =-e^{-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}-{e^{-x}}_{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}^{\mathrm{\pi }}+J \\ =-e^{-x}+J \end{gathered}$$

Vậy $I=e^{-x}=e^{-kx}\Rightarrow k=1$

Đáp án B