Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x)+2f(x)=cosx

* Hướng dẫn giải

Xét tích phân $J={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(-x\right)dx$

Đặt: x = -t nên dx = -dt

Đổi cận

 $$\begin{gathered} x==-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow t=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow t=-\frac{\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} I={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(-t\right)dt=J \\ \Rightarrow 3I+2I \\ ={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left[f\left(-x\right)+2f\left(x\right)\right]dx \\ ={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos \left(x\right)dx=2 \end{gathered}$$

Vậy $I=\frac{2}{3}$

Đáp án B