Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= ( căn x + 1 ) lnx

* Hướng dẫn giải

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Đó $f\left(x\right)>0,\forall x\in \left[1;e^2\right]$ nên

$$\begin{gathered} S={\int }_1^{e^2}f\left(x\right)dx \\ ={\int }_1^{e^2}\left(\sqrt{x}+1\right)\ln \left(x\right)dx \end{gathered}$$

Đặt 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x\right)\\ dv=\left(\sqrt{x}+1\right)dx\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+x\end{array}\right. \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} S=\left(\frac{2\sqrt{x}}{3}+1\right)x\ln {\left(x\right)}_1^{e^2} \\ -{\int }_1^{e^2}\left(\frac{2\sqrt{x}}{3}+1\right)dx \\ =\frac{8e^3+8e^2+13}{9} \end{gathered}$$

Đáp án D