Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B' C' D' có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC' bằng 6

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Giả độ dài các cạnh của khối hộp lần lượt là a; b; c khi đó T = 2ab + 2bc + 2ca = 36. 

$\iff ab+bc+ca=18$. Mặt khác $AC\text{'}=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+AA{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=6$ 

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+c^2=36\\ ab+bc+ca=18\end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{l}{\left(a+b+c\right)}^2=72\\ ab+bc+ca=18\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}a+b+c=6\sqrt{2}\\ b\left(a+c\right)+ac=18\end{array}\right.$ 

Ta có: $V=abc=b.\left[18-b\left(a+c\right)\right]=b\left[18-b\left(6\sqrt{2}-b\right)\right]=b^3-6\sqrt{2}{b}^2+18b=f\left(b\right)$ 

Xét $f\left(b\right)=b^3-6\sqrt{2}{b}^2+18b,\left(0<b<6\sqrt{2}\right)$ ta có : $f\text{'}\left(b\right)=3b^2-12\sqrt{2}b+18=0\iff b^2-4b\sqrt{2}+6=0$ 

$\iff [\begin{array}{l}b=3\sqrt{2}\\ b=\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow f\left(3\sqrt{2}\right)=0;f\left(\sqrt{2}\right)=8\sqrt{2}\Rightarrow \underset{(0;6\sqrt{2})}{Max}f\left(b\right)=8\sqrt{2}$.