Cho hàm số y = (2x - 3)/(x - 2) (C) Gọi d là tiếp tuyến bất kì của (C), d cắt nhau đường tiệm cận của đồ thị (C)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $y\text{'}=\frac{-1}{{\left(x-2\right)}^2}$. Gọi $M\left(a;\frac{2a-3}{a-2}\right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến

Hệ số góc của tiếp tuyến là  $k=y\text{'}\left(a\right)=\frac{-1}{{\left(a-2\right)}^2}$

Phương trình đường thẳng d là $y=-\frac{1}{{\left(a-2\right)}^2}\left(x-a\right)+\frac{2a-3}{a-2}$ 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 tiệm cận ngang là y = 2

Ta có $A\left(2;\frac{2a-2}{a-2}\right),B\left(2a-2;2\right)\Rightarrow AB=\sqrt{4{\left(a-2\right)}^2+\frac{4}{{\left(a-2\right)}^2}}=2\sqrt{{\left(a-2\right)}^2+\frac{1}{{\left(a-2\right)}^2}}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có $AB=2\sqrt{{\left(a-2\right)}^2+\frac{1}{{\left(a-2\right)}^2}}\ge 2\sqrt{2\sqrt{{\left(a-2\right)}^2.\frac{1}{{\left(a-2\right)}^2}}}=2\sqrt{2}$ 

Do đó khoảng cách ngắn nhất giữa A và B là $2\sqrt{2}$.