Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Chuẩn hóa bán kính của viên bi là 1 => Chiều cao của cốc là h = 2. 

+) Thể tích của viên bi là $V_1=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$. Gọi R, r lần lượt là bán kính của miệng cốc và đáy cốc.

+) Thể tích của cốc ( khối nón cụt ) là $V_2=\frac{\mathrm{\pi h}}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$ 

+) Vì lượng nước tràn ra bằng nửa lượng nước đổ vào cốc $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}\Rightarrow R^2+Rr+r^2=4 \left(1\right)$ 

+) Xét mặt cắt của cốc khi thả viên bi vào trong cốc ( hình vẽ bên)

Dễ thấy ABCD là hình thang cân $\Rightarrow O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2 \left(2\right)$ 

Mà $\left\{\begin{array}{l}O{A}^2=R^2+1\\ O{B}^2=r^2+1\end{array}\right.$ và $A{B}^2={\left(AH-BK\right)}^2+H{K}^2={\left(R-r\right)}^2+4 \left(3\right)$ 

Từ (2) và (3) $\Rightarrow R^2+r^2+2={\left(R-r\right)}^2+4\iff Rr=1 \left(4\right)$ 

Từ (1) và (4) $\Rightarrow R^2+Rr+r^2=4Rr\iff {\left(\frac{R}{r}\right)}^2=3\left(\frac{R}{r}\right)+1=0$ 

$\iff \frac{R}{r}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Vậy tỉ số cần tính là $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$