Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có: $F\left(x\right)=\int \left[e^x\left(\ln \left(ax\right)+\right)+\frac{1}{x}\right]dx=\int e^x\ln \left(ax\right)dx+\int \frac{e^x}{x}dx=I_1+I_2$ 

Tính $I_2=\int \frac{e^{x}dx}{x}$,đặt $\left\{\begin{array}{l}u=e^x\\ dv=\frac{1}{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=e^{x}dx\\ v=\ln x\end{array}\right.\Rightarrow I_2=e^x\ln x-\int e^x\ln xdx$ 

Do đó $F\left(x\right)=e^x\ln x+\int e^x\left[\ln \left(ax\right)-\ln x\right]dx=e^x\ln x+\int e^x\ln adx=e^x\left(\ln x+\ln a\right)+C=e^x\ln \left(ax\right)+C$ 

Lại có : $F\left(\frac{1}{a}\right)=e^{\frac{1}{a}}\ln 1+C=0\Rightarrow C=0;F\left(2018\right)=e^{2018}\ln \left(2018a\right)e^{2018}$ 

Do đó $\ln \left(2018a\right)=1\Rightarrow a=\frac{e}{2018}$.