Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x;y) sao cho

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có $\ln {\left(x-y\right)}^2-2017x=\ln {\left(x-y\right)}^y-2017y+e^{2018}\iff \left(x-y\right)\ln \left(x-y\right)-2017\left(x-y\right)=e^{2018}$ 

$\iff \ln \left(x-y\right)-\frac{e^{2018}}{x-y}-2017=0.$ Xét hàm số $f\left(t\right)=\ln t-\frac{e^{2018}}{t}-2017$,có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t}+\frac{e^{2018}}{t^2}>0;\forall t>0$

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ mà $f\left(e^{2018}\right)=0\Rightarrow t=x-y=e^{2018}$

Khi đó $P=e^{2018x}\left(1+x-e^{2018}\right)-2018x^2\to g\left(x\right)$ 

Lại có $g\text{'}\left(x\right)=e^{2018x}x\left(2019+2018x-2018e^{2018}\right)-4036x\Rightarrow g\text{'}\text{'}<0;\forall x\in \left[-1;1\right]$ 

Nên g'(x) là hàm số nghịch biến trên [-1;1] mà $g\text{'}\left(-1\right)=e^{-2018}+2018>0$

Và $g\text{'}\left(0\right)=2019-2018e^{2018}<0$ nên tồn tại $x_0\in \left(-1;0\right)$ sao cho $g\text{'}\left(x_0\right)=0$

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{max}g\left(x\right)=g\left(x_0\right)$ hay giá trị lớn nhất của P đạt được khi $x_0\in \left(-1;0\right)$.