Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số y=x^4+2mx^2+m^2+m có 3 điểm cực trị

* Hướng dẫn giải

Ta có: $y\text{'}=4x^3+4mx;y\text{'}=0\iff 4x\left(x^2+m\right)=0$

Đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị $\iff$phương trình $4x\left(x^2+m\right)$ có ba nghiệm phân biệt $\iff m<0$. Khi đó phương trình y' = 0 có ba nghiệm là

$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=-\sqrt{-m}\\ x=\sqrt{-m}\end{array}\right.$

 Gọi $A\left(0;m^2+m\right),B\left(-\sqrt{-m};m\right),C\left(\sqrt{-m};m\right)$ là các điểm cực trị

Ta có $\overline{AB}=\left(-\sqrt{-m};m^2\right),\overline{AC}=\left(\sqrt{-m};m^2\right)$

Vì $A\in Ox$, B và C là hai điểm đối xứng nhau qua Oy nên $∆ABC$ cân tại A. Như vậy góc ${120}^o$ chính là $\hat{A}$

Ta có 

$$\begin{gathered} \cos A=-\frac{1}{2}\iff \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=-\frac{1}{2} \\ \iff \frac{m+m^4}{m^4-m}=-\frac{1}{2} \\ \iff 3m^4+m=0\iff 3m^3+1=0 \\ \iff m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \end{gathered}$$

Đáp án D