Cho tứ diện có ??=??=??=??=??=?, ??=?2. Góc giữa hai đường thẳng AB, SC bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách 1:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AC, SA, BC.

Khi đó, MN//SC, MP//AB nên góc giữa SC, AB là góc giữa MN và MP, tức $\widehat{NMP}$ hoặc ${180}^{\circ }-\widehat{NMP}$.

Có $MN=MP=\frac{a}{2}$.

Do $SA=SB=SC=AB=AC=a,BC=a\sqrt{2}$ nên ΔABC, ΔSBC vuông cân tại A và S

$\Rightarrow SP=AP=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \text{Δ}SPA$ là tam giác vuông cân tại $\Rightarrow PN=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2}$.

Tam giác $MN=MP=NP=\frac{a}{2}$ ⇒ΔMNP đều $\Rightarrow \widehat{NMP}={60}^{\circ }$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC, AB bằng ${60}^0$.

Cách 2:

Từ giả thiết suy ra ΔSBC vuông cân tại S; ΔSAC là tam giác đều.

Có $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SC}.\left(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\right)=\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}$ $=-SC.SA.cos\widehat{ASC}=-a.a.\cos {60}^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$

Có $AB=a$,$SC=a\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)=\frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{SC.AB}=-\frac{\frac{a^2}{2}}{a^2}=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)={120}^{\circ }$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC, AB bằng ${180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$.