Tìm số giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Điều kiện $\frac{1}{3}\le x\le 10$

Bất phương trình đã cho tương đương với:

$$\begin{gathered} {\log }_2\left(\sqrt{3x+1}+6\right)-1\ge {\log }_2\left(7-\sqrt{10-x}\right) \\ \iff \frac{\sqrt{3x+1}+6}{2}\ge 7-\sqrt{10-x} \\ \iff \sqrt{3x+1}+2\sqrt{10-x}\ge 8 \\ \iff 3x+1+4\sqrt{\left(3x+1\right)\left(10-x\right)}+4\left(10-x\right)\ge 64 \\ \iff 4\sqrt{\left(3x+1\right)\left(10-x\right)}\ge x+23 \\ \iff 16\left(3x+1\right)\left(10-x\right)\ge {\left(x+23\right)}^2 \\ \iff 49x^2-418x+369\le 0 \\ \iff 1\le x\le \frac{369}{49}\approx 7,5 \end{gathered}$$

Mà $x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $x\in \left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}$

Vậy có 7 giá trị nguyên của x

Đáp án D