Cho dãy (??) cho bởi công thức truy hồi ?1=1/2 và ?(?+1)=1/(2−??) nếu ?≥1

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $0<u_1<1$ và nếu $0<u_k<1$ thì $u_{k+1}=\frac{1}{2-u_k}<1$ nên bằng quy nạp ta có:

$0<u_n<\mathrm{1,}\forall n.$

Ta có $u_1=\frac{1}{2}<u_2=\frac{2}{3}$ và nếu $u_k<u_{k+1}$ thì $u_{k+2}-u_{k+1}=\frac{1}{2-u_{k+1}}-\frac{1}{2-u_k}>0$ nên bằng quy nạp ta có: $u_n<u_{n+1},\forall n.$

Do đó dãy $\left(u_n\right)$ tăng và bị chặn nên tồn tại $\lim u_n=I\in R$.

Ta có 

$$\begin{gathered} \lim u_{n+1}=\lim \frac{1}{2-u_n}\Rightarrow I=\frac{1}{2-I} \\ \Rightarrow -I^2+2I-1=0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow I=1.$