Tìm m để phương trình x^4-20x^2+(m-1)^2 =0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $t=x^2,t\ge 0$. Ta được phương trình: $t^2-20t+{\left(m-1\right)}^2=0$(2).

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương $t_1,t_2$ phân biệt $\left(0<t_1<t_2\right)$.

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-m^2+2m+99>0\\ 20>0\\ {\left(m-1\right)}^2>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-9<m<11\\ m\ne 1\end{array}\right.\left(\ast \right). \end{gathered}$$

Bốn nghiệm của phương trình (1) lập thành cấp số cộng là: $-\sqrt{t_2},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_1},\sqrt{t_2}.$

Ta có: $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1}=-2\sqrt{t_1}\\ -\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_1}\end{array}\right. \\ \iff 3\sqrt{t_1}=\sqrt{t_2}\iff t_2=9t_1 \end{gathered}$$.

Theo định lý Viet, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{t}_2=9t_1\\ t_1+t_2=20\\ t_1.t_2={\left(m-1\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{t}_1=2\\ t_2=18\\ {\left(m-1\right)}^2=36\end{array}\right.$

Suy ra: $m=7$ hoặc $m=-5$ (thỏa (∗)).

Vậy tổng tất cả các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: 7−5=2.