Các giá trị của tham số m để hàm số y = x^3 - 3mx^2 - 2x - m nghịch biến trên khoảng (0;1) là

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Xét hàm số $y=x^3-3m{x}^2-2x-m$ trên khoảng (0;1) có $y\text{'}=3x^2-6mx-2$

Hàm số đã cho liên tục và nghịch biến trên khoảng (0;1) khi và chỉ khi  $y\text{'}\le 0,\forall x\in \left[0;1\right]$

Khi đó $3x^2-6mx-2\le 0;\forall x\in \left[0;1\right]\iff 6m\ge \frac{3x^2-2}{x};\forall x\in \left[0;1\right]\iff 6m\ge \underset{\left[0;1\right]}{max}\left\{\frac{3x^2-2}{x}\right\}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{3x^2-2}{x}$  trên [0;1], ta có $f\text{'}\left(x\right)=3+\frac{2}{x^2}>0,\forall x\in \left[0;1\right]$  suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên [0;1].

Do đó $\underset{\left[0;1\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$. Khi đó $6m\ge 1\iff m\ge \frac{1}{6}$.