Xét hai số thực x, y thỏa mãn x^2 + y^2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có $P=2\left(x^3+y^3\right)-3xy=2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-3xy=2\left(x+y\right)\left(2-xy\right)-3xy$

Mặt khác $x^2+y^2=2\iff {\left(x+y\right)}^2-2xy=2\iff 2xy={\left(x+y\right)}^2-2\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}\iff -2\le x+y\le 2$

Khi đó  $2P=2\left(x+y\right)\left(4-2xy\right)-6xy=2\left(x+y\right)\left[4-{\left(x+y\right)}^2+2\right]-3\left[{\left(x+y\right)}^2-2\right]$

$=6+12\left(x+y\right)-3{\left(x+y\right)}^2-2{\left(x+y\right)}^3=f\left(t\right)=6+12t-3t^2-2t^3$

Với  $t=x+y\in \left[-2;2\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=6+12t-3t^2-2t^3$  trên đoạn [-2;2] ta có

$f\text{'}\left(t\right)=12-6t-6t^2$;$f\text{'}\left(t\right)=0\iff [\begin{array}{l}t=-2\\ t=1\end{array}$

So sánh các giá trị f(-2);f(1);f(2), ta được $\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(t\right)=f\left(1\right)=13\Rightarrow M=\frac{13}{2}$.