Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= ( căn x +1)lnx

* Hướng dẫn giải

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Do f(x) > 0 $\forall x\in \left[1;e^2\right]$

nên$S={\int }_1^{e^2}f\left(x\right)dx={\int }_1^{e^2}\left(\sqrt{x}+1\right)xdx$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x\right)\\ dv=\left(\sqrt{x}+1\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+x\end{array}\right.$

Khi đó

$S=\left(\frac{2\sqrt{x}}{3}+1\right)x\ln {\left(x\right)}_1^{e^2}-{\int }_1^{e^2}\left(\frac{2\sqrt{x}}{3}+1\right)dx$

= $\frac{8e^3+9e^2+13}{9}$

Đáp án D