Cho tích phân I = tích phân từ 0 đến pi/4 của sin2xdx/(cos^4 x + sin^4 x). Nếu đặt t = cos2x thì mệnh đề nào sau đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\left(2\sin x\cos x\right)}^2=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ 

$=1-\frac{1}{2\left(1-{\cos }^{2}2x\right)}=\frac{1}{2}\left(1+{\cos }^{2}2x\right)$ 

Khi đó đặt $t=\cos 2x\Rightarrow dt=-2\sin 2xdx$. Đổi cận $\overline{)\begin{array}{c}x=0\Rightarrow t=1\\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\Rightarrow t=0\end{array}}$ 

Do đó $I={\int }_0^1\frac{dt}{2.{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(1+t^2\right)}={\int }_0^1\frac{dt}{t^2+1}$.