Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác vuông OAB với A chạy trên trục hoành và có hoành độ dương; B chạy trên trục tung

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Khi quay $∆OAB$ quanh trục Oy, ta được hình nón có bán kính đáy r = OA và chiều cao h = OB. Theo bài ra, ta có OA + OB = r + h = 1 với (0 < r, h < 1) 

Khi đó, thể tích khối nón là $V_{\left(N\right)}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\left(1-\mathrm{r}\right)$.

 Ta có $r^2\left(1-r^2\right)=4.\frac{r}{2}.\frac{r}{2}.\left(1-r\right)\le 4.\frac{{\left({\displaystyle \frac{r}{2}}+{\displaystyle \frac{r}{2}}+1-r\right)}^3}{27}=\frac{4}{27}\Rightarrow V_{\left(N\right)}\le \frac{1}{3}\mathrm{\pi }.\frac{4}{27}=\frac{4\mathrm{\pi }}{81}$. 

Tham khảo: Ta có thể đưa điểm B có tung độ âm về tung độ dương thì thể tích của khối nón không đổi.

Gọi $\left\{\begin{array}{l}A\left(a;0\right)\\ B\left(0;b\right)\end{array}\left(a,b>0\right)\right.$ suy ra phương trình đường thẳng $\left(AB\right):\frac{x}{y}+\frac{y}{b}=1\Rightarrow x=a-\frac{a}{b}.y$. 

Khi đó $V_{Oy}=\mathrm{\pi }.{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{a}-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{y}\right)}^{2}d\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\mathrm{b}}{3}$.

 Ta có $\frac{4\mathrm{\pi }}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.b\le \frac{4\mathrm{\pi }}{3}.\frac{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+b\right)}^3}{27}=\frac{4\mathrm{\pi }}{81}\Rightarrow V_{Max}=\frac{4\mathrm{\pi }}{81}$.