Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AA' = 2a. Biết thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD'

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD’ chính là thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, bán kính khối cầu ngoại tiếp là $R=\frac{AC\text{'}}{2}$. 

Ta có $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }.\frac{\mathrm{AC}{\text{'}}^3}{8}=\frac{9}{2}{\mathrm{\pi a}}^3\Rightarrow \mathrm{AC}{\text{'}}^3=27{\mathrm{a}}^3\Rightarrow \mathrm{AC}\text{'}=3\mathrm{a}$. 

Mặt khác $AC{\text{'}}^2=A{B}^2+A{D}^2+AA{\text{'}}^2\Rightarrow A{D}^2=\left(3a^2\right)-a^2-{\left(2a\right)}^2=4a^2\Rightarrow AD=2a$. 

Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là $V=AA\text{'}.AB.AD=a.2a.2a=4a^3$.