Các giá trị của tham số m để phương trình 12^x + (4 - m).3^x - m = 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương trình ${12}^x+\left(4-m\right).3^x-m=0\iff {12}^x+4.3^x=m\left(3^x+1\right)\iff m=\frac{{12}^x+4.3^x}{3^x+1} (*)$. 

Xét hàm số $\left(x\right)f\left(x\right)=\frac{{12}^x+4.3^x}{3^x+1}$ trên khoảng (-1;0) có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{{12}^x.(3^x+1).\ln 12-({12}^x-4).\ln 3}{{\left(3^x+1\right)}^2}$.    

Ta có ${12}^x.\left(3^x+1\right).\ln 12-\left({12}^x-4\right).\ln 3={12}^x.\left(3^x.\ln 12-\ln 3\right)+{12}^x.\ln 2+4.\ln 3>0;\forall x\in \left(-1;0\right)$. 

Khi đó $f\text{'}\left(x\right)>0;\forall x\in \left(-1;0\right)$ suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) 

Tính các giá trị $f\left(-1\right)=\frac{17}{16};f\left(0\right)=\frac{5}{2}$ suy ra $minf\left(x\right)=\frac{17}{16}$ và $maxf\left(x\right)=\frac{5}{2}$.

Nên để phương trình (*) có nghiệm $\iff minf\left(x\right)<m>maxf\left(x\right)\Rightarrow m\in \left(\frac{17}{16};\frac{5}{2}\right)$.