Trong các dãy số có số hạng tổng quát dưới đây, dãy số nào là dãy giảm

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Cách 1:

Với A: Ta có

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1} \\ =\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0 \end{gathered}$$.

Do vậy dãy số ở phương án A là dãy số tăng, ta loại A.

Với B: Ta có $$\begin{gathered} v_{n+1}-v_n=\frac{2\left(n+1\right)+1}{5\left(n+1\right)+2}-\frac{2n+1}{5n+2} \\ =\frac{-1}{\left(5n+7\right)\left(5n+2\right)}>0 \end{gathered}$$.

Suy ra dãy số ở phương án B là dãy giảm, do vậy ta chọn B.

Cách 2:

Với A: Xét hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ có $y\text{'}=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Suy ra $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

Với B: Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{5x+2}$ có $y\text{'}=\frac{-1}{{\left(5x+2\right)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Suy ra $\left(v_n\right)$ là dãy số giảm. Do vậy ta chọn  B.