Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1), C(0;21;-19) và mặt cầu

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi điểm $I\left(x;y;z\right)$ sao cho $3\overline{IA}+2\overline{IB}+\overline{IC}=\overline{0}$ suy ra điểm I(1;4;-3) 

Xét mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$ có tâm E(1;1;1) và bán kính R = 1. 

Suy ra $\overline{IE}=(0;-3;4)\Rightarrow IE=5>R=1$. Ta có $T=3{\overline{MA}}^2+2.{\overline{MB}}^2+{\overline{MC}}^2=3.{\left(\overline{MI}+\overline{IA}\right)}^2+2.{\left(\overline{MI}+\overline{IB}\right)}^2+{\left(\overline{MI}+\overline{IC}\right)}^2$ 

$=6.M{I}^2+2.\overline{MI}.\left(3\overline{IA}+2\overline{IB}+\overline{IC}\right)+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2=6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2$. 

Để tổng T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất vì tổng $3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2$ không đổi. Suy ra M, E, I thẳng hàng mà IE = 5 và EM = 1 nên $\Rightarrow 5.\overline{EM}=\overline{EI}$. 

Lại có $\overline{EI}=\left(0;3;-4\right)$ và $\overline{EM}=\left(a-1;b-1;c-1\right)$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ 5\left(b-1\right)=3\\ 5\left(c-1\right)=-4\end{array}\right.\Rightarrow a+b+c=\frac{15}{4}.$