Tìm mô đun của số phức w = z^3+z+1/z^2+1 biết rằng số phức z thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Gọi z = a + bi với $a,b\in \mathrm{ℝ}$

Khi đó phương trình $\left(z+\overline{z}\right)\left(1+i\right)+\left(z-\overline{z}\right)\left(2+3i\right)=4-i$trở thành:

$$\begin{gathered} 2a\left(1+i\right)+2b\left(2+3i\right)=4-i \\ \iff \left(2a+4b\right)+\left(2a+6b\right)i=4-i \end{gathered}$$

Do đó:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2a+4b=4\\ 2a+6b=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i \end{gathered}$$

Ta có: $w=\frac{z^3+z+1}{z^2+1}-=z+\frac{1}{z^2+1}$ Thay $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ vào ta được:

$$\begin{gathered} w=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)}^2+1} \\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+\frac{1}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}i+1} \\ =\frac{13}{10}-\frac{1}{10}i \end{gathered}$$

Suy ra $\left|w\right|=\sqrt{{\left(\frac{13}{10}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{10}\right)}^2}=\frac{\sqrt{170}}{10}$

Đáp án A