Số các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^3-6x^2+mx+2}\left(3x^2-12x+m\right).\ln \frac{1}{2}=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^3-6x^2+mx+2}\left(3x^2-12x+m\right).\ln 2$ 

Hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^3-6x^2+mx+2}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left(1;3\right)\Rightarrow y\text{'}>0\left(\forall x\in \left(1;3\right)\right)$ 

$\iff 3x^2-12x+m\le 0\left(\forall x\in \left(1;3\right)\right)\iff m\le 12x-3x^2=g\left(x\right)\left(\forall x\in \left(1;3\right)\right)\iff m\le \underset{\left(1;3\right)}{Min}g\left(x\right)$

Lại có $g\text{'}\left(x\right)=12-6x\iff x=2\Rightarrow g\left(2\right)=12;\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }g\left(x\right)=9$ 

Lập bảng biến thiên suy ra $m\le 9$ là giá trị cần tìm. Vậy có 9 giá trị nguyên dương của m.