Với n là số nguyên dương thỏa mãn đăng thức 3. n+1Cn - 3.nA2 = 52 (n - 1)

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $3C_{n+1}^3-3A_n^2=52\left(n-1\right)\iff 3\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-2\right)!.3!}-3\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=52\left(n-1\right)$

$\iff 3\frac{n\left(n^2-1\right)}{2}-3n\left(n-1\right)=52\left(n-1\right)\iff n^2+n-6n=104\iff n^2-5n-104=0\iff n=13$ 

Khi đó ${\left(x^3+2y^2\right)}^n={\left(x^3+2y^2\right)}^{13}=\sum _{k=0}^{13}{C}_{13}^k{\left(x^3\right)}^{13-k}.{\left(2y^2\right)}^k=\sum _{k=0}^{13}{C}_{13}^k{2}^k{x}^{39-3k}.y^{2k}$ 

Vì tổng số mũ của x và y bằng $34\to 39-3k+2k=34\iff k=5$ 

Vậy hệ số cần tìm ứng với $k=5\to T_5=C_{13}^5{2}^5=41184$.