Cho phương trình 25^x - (m + 2)5^x + 2m + 1 = 0 với m là số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Đặt $t=5^x\left(t>0\right)$ 

Khi đó PT$\Rightarrow t^2-\left(m+2\right)t+2m+1=0\iff t^2-2t+1=m\left(t-2\right) \left(*\right)$ 

Rõ ràng t = 2 không là nghiệm của phương trình

Do đó $\left(*\right)\iff m=\frac{t^2-2t+1}{t-2}=t+\frac{1}{t-2}=f\left(t\right)$ 

Xét f(t) trên tập $\left(0;2\right)\cup \left(2;+\infty \right)$ ta có: $f\text{'}\left(t\right)=1-\frac{1}{{\left(t-2\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}t=1\\ t=3\end{array}$ 

Mặt khác $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(t\right)=-\frac{1}{2};f\left(1\right)=0;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(t\right)=-\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(t\right)=+\infty ;f\left(3\right)=2;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=+\infty$ 

Lập bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi $m\in (-\infty ;0]\cup [2;+\infty )$ 

Kết hợp $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và $m\in \left[0;2018\right]$ suy ra có 2018 giá trị của tham số m.