Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn (9a^3 + a)/(b + 1) = căn (3b + 2)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $\frac{9a^3+a}{b+1}=\sqrt{3b+2}\iff 9a^3+a=\left(b+1\right)\sqrt{3b+2}$ 

Đặt $t=\sqrt{3b+2}\Rightarrow b=\frac{t^2-2}{3}\Rightarrow$ $9a^3+a=\frac{t^2+1}{3}t\iff 27a^3+3a=t^3+t\iff {\left(3a\right)}^3+3a=t^3+t$ 

Xét hàm số $f\left(u\right)=u^3+u\left(u\in \mathrm{ℝ}\right)\Rightarrow f\text{'}\left(u\right)=3u^2+1>0 \forall u\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow f\left(u\right)$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ 

Khi đó:  $f\left(3a\right)=f\left(t\right)\iff t=3a\Rightarrow \sqrt{3b+2}=3a\iff b=\frac{9a^2-2}{3}$ 

Suy ra $S=6a-3a^2+\frac{2}{3}=-3{\left(a-1\right)}^2+\frac{11}{3}\le \frac{11}{3}$. 

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức S = 6a - b là $\frac{11}{3}$.