Biết số phức z thỏa mãn Iz - 3 - 4iI = căn 5 và biểu thức T = Iz + 2I^2 - Iz - iI^2 đạt giá trị lớn nhất

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $z=x+yi\left(x,y\in \mathrm{ℝ}\right)\Rightarrow$ Tập hợp điểm M là đường tròn (C) có tâm I(4;3) bán kính $R=\sqrt{5}$ 

Ta có $P={\left|z+2\right|}^2-{\left|z-i\right|}^2={\left|x+2+yi\right|}^2-{\left|x+\left(y-1\right)i\right|}^2={\left(x+2\right)}^2+y^2-z^2-{\left(y-1\right)}^2$ 

$=x^2+y^2+4x+1-x^2-y^2+2y-1=4x+2y+3\to \left(∆\right):4x+2y+3-P=0$ 

Ta cần tìm P sao cho đường thẳng $\left(∆\right)$ và đường tròn (C) có điểm chung $\iff d\left(I,∆\right)\le R$ 

$\iff \frac{\left|4.3+2.4+3-P\right|}{\sqrt{4^2+2^2}}\le \sqrt{5}\iff \left|23-P\right|\le 10\iff -10\le 23-P\le 10\iff 13\le P\le 33$

Do đó, maxP = 33. Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}4x+2y-30=0\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-5\end{array}\right.$. Vậy $\left|z\right|=5\sqrt{2}$