Cho hàm số y = f(x) = -x^3 + 6x^2 + 2 có đồ thị (C) và điểm M(m;2)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k, đi qua M(m;2) là y - 1 = k(x - m) (d) 

Vì (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}k=f\text{'}\left(x\right)\\ k\left(x-m\right)+2=-x^3+6x^2+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k=-3x^2+12x\\ k\left(x-m\right)=-x^3+6x^2\end{array}\right.$

$\iff \left(-3x^2+12x\right)\left(x-m\right)+x^3-6x^2=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ \left(-3x+12x\right)\left(x-m\right)+x^2-6x=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ -3x^2+3mx+12x-12m+x^2-6x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ 2x^2-3\left(m+2\right)x+12m=0\left(*\right)\end{array}$ 

Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) khi và chỉ khi:

TH1. Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0 $\iff ∆=9{\left(m+2\right)}^2-96m=0\iff [\begin{array}{l}m=6\\ m=\frac{2}{3}\end{array}$ 

TH2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 0, nghiệm còn lại khác 0 $\iff \left\{\begin{array}{l}12m=0\\ ∆>0\end{array}\right.\iff m=0$ 

Vậy $m=\left\{0;\frac{2}{3};6\right\}$ là các giá trị cần tìm $\to \sum m=0+\frac{2}{3}+6=\frac{20}{3}$ .