Phương trình 2log 3 của (cotx) = log 2 của (cosx) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0;2018pi) ?

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}cotx<0\\ \cos x>0\end{array}\right.$. Ta có $2{\log }_3\left(cotx\right)={\log }_2\left(\cos x\right)\iff {\log }_3\left(co{t}^{2}x\right)={\log }_2\left(\cos x\right)=t$ 

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}co{t}^{2}x=3^t\\ {\cos }^{2}x=4^t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}=3^t\\ co{s}^{2}x=4^t\end{array}\right.\iff \frac{4^t}{1-4^t}=3^t\iff 4^t+{12}^t-3^t=0\iff {\left(\frac{4}{3}\right)}^t+4^t-1=0$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)={\left(\frac{4}{3}\right)}^t+4^t-1$ trên $\mathrm{ℝ}$ có $f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{4}{3}\right)}^t.\ln \frac{4}{3}+4^t.\ln 4>0,\forall t\in \mathrm{ℝ}$ 

$\Rightarrow f\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ mà $f\left(-1\right)=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }$ 

Kết hợp với điều kiện $x\in \left(0;2018\mathrm{\pi }\right)\Rightarrow -\frac{1}{6}<k<1008,83\stackrel{k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{\to }$ có 1009 nghiệm.