Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 12 = 0 và A ( 1;1;3 ), B ( 2;1;4 )

* Hướng dẫn giải

Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: y = 2x - 2z - 12 nên tọa độ điểm $C\left(a;2a-2b;b\right)$

Ta có $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\left(1;0;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(a-1;2a-2b-13;v-3\right)$

Suy ra $\left[\stackrel{\rightharpoonup }{AB},\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right]=\left(2a-2b-13;b-a-2;13-2a+2b\right)$

Do đó 

$$\begin{gathered} S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left[\stackrel{\rightharpoonup }{AB},\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right]\right| \\ =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(2a-2b-13\right)}^2+{\left(b-a-2\right)}^2+{\left(13-2a+2b\right)}^2} \end{gathered}$$

Đặt t = a - b thì

$$\begin{gathered} 4S_{∆ABC}^2={\left(2t-13\right)}^2+{\left(t+2\right)}^2+{\left(13-2t\right)}^2 \\ =9t^2-100t+342 \\ ={\left(30t-\frac{50}{3}\right)}^2+\frac{578}{9}\ge \frac{578}{9} \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $t=\frac{50}{9}$

Do đó $min{S}_{ABC}=\frac{17\sqrt{2}}{6}$ khi $t=\frac{50}{9}$. Vì thế $b=a-\frac{50}{9}$

Suy ra $C\left(a;-\frac{8}{9};a-\frac{50}{9}\right)$

Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{8}{9}\\ z=-\frac{8}{9}+t\end{array}\right.$

Đáp án B