Tìm giá trị của m để hàm số y=x^2-2mx+3m^2/2m-x nghịch biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

TXĐ: $D=R\setminus \left\{2m\right\}$

$y\text{'}=\frac{-x^2+4mx-m^2}{{\left(x-2m\right)}^2}=\frac{f\left(x\right)}{{\left(x-2m\right)}^2}$

Đặt t = x - 1. Khi đó bất phương trình $f\left(x\right)\le 0$ trở thành $g\left(t\right)=-t^2-2\left(1+2m\right)t-m^2+4m-1\le 0$

Hàm số nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$ khi và chỉ khi 

$$\begin{gathered} y\text{'}\le 0,\forall x\in \left(1;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{l}2m<1\\ g\left(t\right)\le 0,\forall t>0\left(*\right)\end{array}\right. \\ \left(*\right)\iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}=0\\ \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}=0\\ S<0\\ P\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=0\\ \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 4m-2<0\\ m^2-4m+1\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff m\le 2-\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy $m\le 2-\sqrt{3}$

Đáp án C