Xét tứ diện AB = BC = CD = DA = 1 và AC = BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi I, H lần lượt là trung điểm AC, BD. Ta có $\left\{\begin{array}{l}BI\perp AC\\ DI\perp AC\end{array}\Rightarrow AC\perp \left(IBD\right)\right.$ và $V_{I.BCD}=V_{I.ABD}$ 

Lại có $IB=\sqrt{A{B}^2-A{I}^2}=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$,với AC = BD = x.  

Và $IH=\sqrt{I{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}}=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$

Diện tích tam giác IBD là $S_{∆IBD}=\frac{1}{2}IH.BD=\frac{x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$ 

Suy ra $V_{ABCD}=2V_{I.BCD}=\frac{2}{3}IC.S_{IBD}=\frac{x}{3}.\frac{x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}=\frac{x^2}{6}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$ 

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2\sqrt{2-x^2}\to maxf\left(x\right)=\frac{4\sqrt{6}}{9}$ 

Vậy thể tích lớn nhất là $V_{max}=\frac{4\sqrt{6}}{9}:6\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{3}}{27}$