Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $y\text{'}=x^2+2\left(m+1\right)x+4$ 

Hệ số $a=\frac{1}{3}>0$ nên hàm số nghịch biến trong đoạn $\left[x_2;x_1\right]$ có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ thì hàm số có cực đại và cực tiểu $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left|x_2-x_1\right|=2\sqrt{5}$  với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm PT y'=0

Khi đó $∆\text{'}={\left(m+1\right)}^2-4>0\iff [\begin{array}{l}m>0\\ m<-3\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m-1\\ x_1{x}_2=4\end{array}$.

Có $\left|x_2-x_1\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_2+x_1\right)}^2-4x_2{x}_1}=\sqrt{{\left(m+1\right)}^2-16}=2\sqrt{5}\iff {\left(m+1\right)}^2=36$$\iff [\begin{array}{l}m=5\\ m=-7\end{array}$.

Kết hợp điều kiện (1) $\Rightarrow [\begin{array}{c}m=5\\ m=-7\end{array}\Rightarrow S=-2$.