Cho hàm số y= f(x) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=a\\ f\text{'}\left(1\right)=b\end{array}\right.$, thay x = 0 vào giả thiết, ta được $f^2\left(1\right)=-f^3\left(0\right)\iff a^3+a^2=0\iff [\begin{array}{l}a=0\\ a=-1\end{array}$ 

Đạo hàm cả 2 vế biểu thức $f^2\left(1+2x\right)=x-f^3\left(1-x\right)$, ta đưuọc

$4f\text{'}\left(1+2x\right).f\left(1+2x\right)=1+3f\text{'}\left(1-x\right).f^2\left(1-x\right)\left(1\right)$

Thay x = 0 vào (1), ta có $4f\text{'}\left(1\right).f\left(1\right)=1+3f\text{'}\left(1\right).f^2\left(1\right)\iff 4ab=1+3a^{2}b\left(2\right)$

TH1. Với a = 0 thay vào (2), ta được 0 = 1 (vô lí)

TH2. Với a = -1 thay vào (2), ta được $-4b=1+3b\iff b=-\frac{1}{7}\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=-\frac{1}{7}$ 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y-f\left(1\right)=f\text{'}\left(1\right)\left(x-1\right)\Rightarrow y=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}$.