Cho hàm số g(x)=dt/lnt với x>1. Tìm tập giá trị T của hàm số

* Hướng dẫn giải

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=2x\frac{1}{\ln \left(x^2\right)}-\frac{1}{\ln \left(x\right)}=\frac{x-1}{\ln }>0,\forall x>1\Rightarrow$ g(x) đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$

Suy ra tập giá trị của hàm số g(x) là $T=\left(g\left(1^{+}\right);g\left(+\infty \right)\right)$

Do $\frac{1}{\ln \left(t\right)}$ là hàm số nghịch biến nên $g\left(x\right)\ge \left(x^2-x\right)\frac{1}{\ln \left(x^2\right)}\to +\infty$ khi $x\to +\infty$

Do đó $g\left(+\infty \right)=+\infty$

Để tính $g\left(1^{+}\right)$ đặt $t=e^x$, ta được $g\left(x\right)={\int }_{\ln \left(x\right)}^{2\ln \left(x\right)}\frac{e^v}{v}dv$

Khi đó $g\left(x\right)<e^{2\ln \left(x\right)}={\int }_{\ln \left(x\right)}^{2\ln \left(x\right)}\frac{dv}{v}=x^2\ln \left(2\right)$

Chứng minh tương tự, ta thu được g(x) > xln(2)

Theo định lí kẹp, ta suy ra $g\left(1^{+}\right)=\ln \left(2\right)$

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là $T=\left(\ln \left(2\right);+\infty \right)$

Đáp án D